jueves, 9 de abril de 2009

Fractales: belleza matemática


El programa Mathematica, de cálculo numérico y simbólico, permite infinidad de operaciones (aunque es horrible para programar). Se puede usar como simple calculadora, para hallar primitivas de funciones, dibujar gráficas, resolver sistemas de ecuaciones... Además, puede irse más allá y crear complejas figuras matemáticas, como la que debí hacer en una práctica de la facultad.

Antes de nada, decir que un fractal es, a grandes rasgos, una figura demasiado irregular para ser descrita en términos de geometría tradicional y que contiene partes autosemejantes. Más allá de la definición matemática, son formas de una gran belleza (buscad en Google), pudiendo encontrar algunos ejemplos en la naturaleza, como los copos de nieve.


Pues bien, el método de Newton-Raphson para encontrar la solución a una ecuación de forma numérica (aproximada) puede producir fractales increíbles como los que se ven en las figuras. Resulta que si tomamos un polinomio y hallamos las raíces del mismo con dicho método, tomando como punto inicial cada elemento del plano de Argand (plano complejo), y le damos a cada punto un color determinado dependiendo de la raíz a la que converja el método y una tonalidad según su velocidad de convergencia (más oscuro, más rápido), obtenemos estos fractales tan coloridos.
El primero corresponde a la función x^6-1 y x^4-1. En cada uno se ve que el número de colores es igual al número de raíces del polinomio.

Por si alguien tiene Mathematica y quiere echarle un vistazo, aquí os dejo el archivo con la práctica que entregué. En él hay un pequeño programa que nos permite introducir el polinomio que queramos y representa el fractal correspondiente. Eso sí, preparad la máquina porque si ponéis buena resolución va a tardar un rato. Que lo disfrutéis.

13 comentarios:

Sergio Arganda Gomez dijo...

Pues es bastante interesante. En la carrera para las asignaturas de matematicas usamos este programa pero no sabia que se podia ahcer esto. Vere el archivo que has puesto a ver si me sale algo guapo. Muchas gracias.

Jocántaro dijo...

DIos mio, pedazo de frikada..xDDD
Eso a sio FC que te ha dejao esta tarde echo polvo...xDDDD

Juanma dijo...

Dios, 11 MB de practica!!

A mi me peta al abrirlo... qué triste. U.U

Juanjo dijo...

¡Hola!

He intentado bajarme el archivo pero no me deja, me sale la página del lugar de descarga, pero ningún link al archivo :(.

Me interesaría para mi Tesis.

Gracias y saludos.

Dedalus dijo...

Hola, Juanjo. Ahora estoy en Londres y la conexión de la que dispongo va muy lenta, pero en cuanto vuelva a España vuelvo a subir el archivo. Eso sí, si lo usas en tu tesis no olvides mencionar las fuentes ;) Un saludo.

Juanjo dijo...

Tranquilo Dedalus, si lo utilizo no te preocupes que incluiré las fuentes y una mención.

Muchas gracias.

Dedalus dijo...

Bueno, ya he resubido la práctica. Siento el retraso, pero es que después de Londres me he vuelto a ir de viaje y encima mi ordenador portátil, dónde tenía el trabajo, ha pillado un troyano y he tenido que rebuscar en mis copias de seguridad. Espero que te sirva. Un saludo.

Juanjo dijo...

Dedalus,
Por desgracia me sigue dando el mismo error. ¿Podrías volver a subirlo?
He estado yo también de viaje y no he podido estar atento.

Dedalus dijo...

Ya lo he vuelto a subir, esta vez por megaupload que está más extendido. A mí tampoco me aparecía el archivo: quizás con ese gestor expiran los archivos más rápido. De todas formas, si tienes algún problema no dudes en avisarme.

Juanjo dijo...

Muchas gracias Dedalus, ¿no acompaña un PDF? Sólo veo el archivo de Mathematica, pero ningún PDF y creo que alguien comentó que era un PDF.
Saludos,

Dedalus dijo...

No, no viene con pdf. En realidad no es que fuese un trabajo excesivamente exhaustivo en cuanto a documentación: debíamos limitarnos a programar el fractal utilizando lo que conocíamos de cálculo numérico. Lo hice el curso pasado, en 2º de Telecomunicaciones, así que en realidad no he estudiado teoría de fractales (aunque algo he leído sobre eso). Imagino que tu tesis será para Matemáticas, ¿no?

Juanjo dijo...

Mi Tesis es de Ingeniería. Trata acerca del estudio del movimiento de las partículas en el escape en Motores Diesel. Su morfología puede tratarse como si fuesen fractales y estoy centrado en determinar la dimensión fractal mediante el algoritmo de Box-Counting.
Voy a ver la práctica que promete ser interesante.
¡Muchas gracias!

Dedalus dijo...

Parece muy interesante el tema, aunque mi práctica es más un ejercicio de programación en Mathematica que un estudio real de los fractales. Quizás pueda servirte para representar algún fractal de otro tipo. Suerte con la tesis.